ในบทเรียนนี้ คุณจะได้เรียนรู้เกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ เราจะมาดูกันว่ามันคืออะไร การคำนวณหาว่าตัวเลขเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ และเรื่องน่ารู้เกี่ยวกับจำนวนเฉพาะและการนำไปใช้งานอย่างไรในทางคณิตศาสตร์ นี่เป็นเนื้อหาในบทนี้
- จำนวนเฉพาะคืออะไร
- วิธีหาว่าตัวเลขเป็นจํานวนเฉพาะหรือไม่
- จำนวนเฉพาะ 1 – 50 มีอะไรบ้าง
- จำนวนเฉพาะ 1 – 100 มีอะไรบ้าง
- จำนวนเฉพาะ 1 – 500 มีอะไรบ้าง
- จำนวนเฉพาะ 1 – 1000 มีอะไรบ้าง
- เรื่องน่ารู้เกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ
- โปรแกรมคำนวณจำนวนเฉพาะ
จำนวนเฉพาะคืออะไร
จำนวนเฉพาะ (Prime number) คือจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 1 ที่ไม่ใช่ผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวนที่น้อยกว่าตัวมัน ยกตัวอย่างเช่น 5 เป็นจำนวนเฉพาะ เนื่องจากมีเพียงหนึ่งวิธีที่สามารถเขียนได้ในรูปแบบของผลคูณคือ 1 × 5 และ 5 × 1 ในขณะที่ 6 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ เนื่องจากมันสามารถเขียนได้ในรูปแบบผลคูณของตัวเลขที่น้อยกว่าตัวมันคือ 2 × 3 และ 3 × 2 ดังนั้นจะสามารถกล่าวได้อีกนัยหนึ่งว่าจำนวนเฉพาะคือตัวเลขจำนวนเต็มที่มีเพียงหนึ่งและตัวมันเองเท่านั้นที่สามารถหารได้ลงตัว มาดูตัวอย่างของจำนวนเฉพาะและจำนวนที่ไม่ใช
ตัวอย่างของจำนวนเฉพาะ
2 เป็นจำนวนเฉพาะ (1 × 2)
3 เป็นจำนวนเฉพาะ (1 × 3)
5 เป็นจำนวนเฉพาะ (1 × 5)
13 เป็นจำนวนเฉพาะ (1 × 13)
29 เป็นจำนวนเฉพาะ (1 × 29)
37 เป็นจำนวนเฉพาะ (1 × 37)
ตัวอย่างของจำนวนประกอบ
4 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ (1 × 4 และ 2 × 2)
6 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ (1 × 6 และ 2 × 3)
9 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ (1 × 9 และ 3 × 3)
15 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ (1 × 15 และ 3 × 5)
21 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ (1 × 21 และ 3 × 7)
28 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ (1 × 28, 2 × 14 และ 4 × 7)
54 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ (1 × 54, 2 × 27, 3 × 18 และ 6 × 9)
จะเห็นว่าจำนวนเฉพาะจะสามารถเขียนได้ในรูปแบบการคูณกันแบบเดียวคือ 1 และตัวของมันเอง ส่วนจำนวนที่ไม่เป็นจำนวนเฉพาะนั้นเราเรียกว่าจำนวนประกอบ ที่สามารถประกอบขึ้นมาได้จากการคูณกันของสองตัวเลขจำนวนเต็มที่น้อยกว่าตัวมันได้มากกว่า 1 แบบ
1 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่
คุณอาจจะมีคำถามว่า 1 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ คำตอบก็คือ 1 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ เนื่องจากจำนวนเฉพาะต้องเป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 ตามคำนิยาม
วิธีหาว่าตัวเลขเป็นจํานวนเฉพาะหรือไม่
สำหรับการหาค่าว่าตัวเลขจำนวนเต็ม n ใดๆ เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่นั้น มีขั้นตอนง่ายๆ ที่สามารถทำได้ดังนี้
- ค้นหารากที่สองของ n
- ค้นหาตัวเลขตั้งแต่ 2 ถึงรากที่สองของ n (2 <= sqrt(n))
- ถ้าหากพบอย่างน้อยหนึ่งตัวที่สามารถหาร n ลงตัวจะสรุปได้ทันทีว่า n ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
- ถ้าหากไม่มีตัวเลขใดเลยที่สามารถหาร n ได้ลงตัวสรุปได้ว่า n เป็นจำนวนเฉพาะ
ต่อไปเรามาลองหาว่าตัวเลขเหล่านี้เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่กัน
16 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่
เพื่อค้นหาว่า 16 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่
- ค้นหารากที่สองของ 16 จะได้เท่ากับ 4
- ค้นหาตัวเลขตั้งแต่ 2 ถึง 4 ที่สามารถหาร 16 ได้ลงตัว
- จะพบว่ามี 2 และ 4 ที่สามารถหาร 16 ได้ลงตัว
เนื่องจากมีอย่างน้อย 1 ตัวเลขที่สามารถหาร 16 ได้ลงตัว ดังนั้น 16 จึงไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
52 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่
ในบางกรณีเมื่อหารากที่สองออกมาแล้วอาจไม่เป็นจำนวนเต็ม ในกรณีนี้ตัดส่วนของทศนิยมออกไปได้เลย มาดูกันกว่า 52 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่
- ค้นหารากที่สองของ 54 จะได้ประมาณ ~7.3484 ดังนั้นค่าที่นำมามาใช้งานจะเป็น 7
- ค้นหาตัวเลขตั้งแต่ 2 ถึง 7 ที่สามารถหาร 54 ได้ลงตัว
- จะพบว่ามี 2, 3 และ 6 ที่สามารถหาร 54 ได้ลงตัว
เนื่องจากมีอย่างน้อย 1 ตัวเลขที่สามารถหาร 54 ได้ลงตัว ดังนั้นจึงสรุปได้เช่นเดิมว่า 54 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
ต่อไปมาลองค้นหากับตัวเลขที่เป็นจำนวนเฉพาะกันบ้าง
13 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่
- ค้นหารากที่สองของ 13 จะได้ประมาณ ~3.6055 ดังนั้นค่าที่นำมามาใช้งานจะเป็น 3
- ค้นหาตัวเลขตั้งแต่ 2 ถึง 3 ที่สามารถหาร 13 ได้ลงตัว
- จะพบว่าไม่มีตัวเลขใดที่หาร 13 ได้ลงตัวเลย
ดังนั้น 13 เป็นจำนวนเฉพาะ
97 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่
- ค้นหารากที่สองของ 97 จะได้ประมาณ ~9.8488 ดังนั้นค่าที่นำมามาใช้งานจะเป็น 9
- ค้นหาตัวเลขตั้งแต่ 2 ถึง 9 ที่สามารถหาร 97 ได้ลงตัว
- จะพบว่าไม่มีตัวเลขใดที่หาร 97 ได้ลงตัวเลย
ดังนั้น 97 เป็นจำนวนเฉพาะ สังเกตว่ารากที่สองสองจำนวนเฉพาะจะได้ค่าเป็นทศนิยมอยู่เสมอ นี่เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเฉพาะ
และตอนนี้คุณก็ได้ทราบว่าจำนวนเฉพาะคืออะไร และทราบถึงวิธีการคำนวณของมันแล้ว ต่อไปมาดูรายงานของจำนวนเฉพาะที่เราได้คำนวณและเตรียมไว้ให้กับคุณแล้วกัน
จำนวนเฉพาะ 1 – 50 มีอะไรบ้าง
จำนวนเฉพาะระหว่าง 1 – 50 มีอยู่ 9 ตัว ได้แก่ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23
จำนวนเฉพาะ 1 – 100 มีอะไรบ้าง
จำนวนเฉพาะระหว่าง 1 – 100 มีอยู่ 25 ตัว ได้แก่ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
จำนวนเฉพาะ 1 – 500 มีอะไรบ้าง
จำนวนเฉพาะระหว่าง 1 – 500 มีอยู่ 95 ตัว ได้แก่ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499
จำนวนเฉพาะ 1 – 1000 มีอะไรบ้าง
จำนวนเฉพาะระหว่าง 1 – 1000 มีอยู่ 168 ตัว ได้แก่ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997
เรื่องน่ารู้เกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ
- ผู้คนเชื่อว่ามนุษย์ต่างดาวพยายามมาหาเราผ่านจำนวนเฉพาะ
- จำนวนเฉพาะถูกศึกษาอย่างจริงจังเป็นครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์กรีกโบราณ
- จำนวนเฉพาะคือจำนวนเต็มใดๆ ที่มีเพียง 1 และตัวมันเองเท่านั้นที่สามารถหารได้ลงตัว
- จำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดเท่าที่พบมีตัวเลขอยู่จำนวน 24,862,048 หลัก นั่นคือ 282,589,933-1
- 2 เป็นจำนวนเฉพาะตัวเดียวที่เป็นจำนวนคู่
- ในโลกนี้มีองค์กรที่อุทิศตนเพื่อค้นหาจำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดนั่นคือ The Great Internet Mersenne Prime Number Search (GIMPS)
- จำนวนเฉพาะช่วยปกป้องเราจากอาชญากรรมไซเบอร์โดยการนำไปประยุกต์ใช้กับวิทยาการการเข้ารหัส
- 0 และ 1 ไม่ถือว่าเป็นจำนวนเฉพาะ
- จำนวนเฉพาะเป็นตัวเลขที่มีความเกี่ยวข้องกับความเชื่อโชคลางตั้งแต่สมัยโบราณ
- จำนวนเฉพาะจะหายากขึ้นเมื่อตัวเลขมีขนาดใหญ่ขึ้น
- ตัวเลขที่เป็นที่ชื่นชอบมากสุดในโลกคือจำนวนเฉพาะ
- จำนวนเฉพาะที่มีตัวเลขคั่นหนึ่งตัวเรียกว่าจำนวนเฉพาะแฝด เช่น (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139)
- จำนวนเฉพาะเป็นอนันต์และไม่สิ้นสุด
- ไม่มีจำนวนเฉพาะที่มากกว่า 5 ที่ลงท้ายด้วย 5
- คนไทยหัวเราะเป็นจำนวนเฉพาะ 555
โปรแกรมคำนวณจำนวนเฉพาะ
สุดท้ายเป็นการแนะนำเครื่องมือสำหรับคำนวณหาว่าตัวเลขเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ https://matteoconverter.com/math/prime-number-calculator
