เศษส่วนอย่างต่ำคืออะไร วิธีการแปลงเป็นเศษส่วนอย่างต่ำแบบเข้าใจง่าย

เศษส่วนอย่างต่ำ (Irreducible fraction) คือเศษส่วนที่ไม่สามารถลดทอนได้ หรือเศษส่วนที่มีเศษและส่วนเป็นจำนวนเต็มและไม่มีตัวเลขที่สามารถหารทั้งเศษและส่วนได้ลงตัวยกเว้น 1 หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เศษส่วน a/b จะเป็นเศษส่วนอย่างต่ำก็ต่อเมื่อ ห.ร.ม. ของ a และ b มีค่าเท่ากับ 1 นั่นเอง

นี่เป็นตัวอย่างของเศษส่วนอย่างต่ำ 1/6, 3/4, 101/100 ซึ่งไม่สามารถลดทอนได้อีกต่อไป ในขณะที่ 2/4 นั้นไม่เป็นเศษส่วนอย่างต่ำหรือเศษส่วนที่สามารถลดทอนได้ นั่นเป็นเพราะว่ามันสามารถลดทอนได้เป็น 1/2 ซึ่งเกิดจากการนำ 2 มาหารทั้งเศษและส่วนนั่นเอง

วิธีการแปลงเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

การทำให้เป็นเศษส่วนต่างต่ำสามารถทำได้โดยการหาตัวเลขที่หารทั้งเศษและส่วนลงตัวยกเว้น 1 มาลดทอนทั้งเศษและส่วนไปพร้อมๆ กัน ในตัวอย่างนี้เรามาทำให้ 90/120 เป็นเศษส่วนอย่างต่ำกัน

90    90/x
——— = ———
120   120/x

ก่อนอื่นลองนึกถึงตัวเลขที่สามารถหารทั้ง 90 และ 120 ได้ลงตัว ซึ่งจากการสำรวจมีหลายตัวเลขที่สามารถหารทั้ง 90 และ 120 ได้ลงตัว เราลองเลือกเป็น 10

90    90/10     9    9/x
——— = ———    => —— = ——
120   120/10    12   12/x

เมื่อหารด้วย 10 เศษส่วนได้ถูกลดทอนเป็น 9/12 เช่นเดิม ลองนึกถึงตัวเลขที่สามารถหารทั้ง 9 และ 12 ลงตัว และจะพบว่า 3 สามารถหารตัวเลขทั้งสองลงตัว

90    90/10     9    9/3     3    3/x
——— = ———    => —— = ——   => —— = —— 
120   120/10    12   12/3    4    4/x

เมื่อนำ 3 มาหาร เศษส่วนได้ถูกลดทอนเป็น 3/4 และเช่นเดิม หาตัวเลขที่สามารถหารทั้ง 3 และ 4 ได้ลงตัว เนื่องจากพบว่าไม่ม่ีตัวเลขใดเลยที่หารได้ลงตัวยกเว้น 1 ดังนั้น 3/4 ถือว่าเป็นเศษส่วนอย่างต่ำของ 90/120

90    90/10     9    9/3     3    3/1    3
——— = ———    => —— = ——   => —— = ——  => —— (เศษส่วนอย่างต่ำ)
120   120/10    12   12/3    4    4/1    4 

และนี่ก็เป็นวิธีพื้นฐานสำหรับการแปลงเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

ในการแปลงเศษส่วนเป็นเศษส่วนอย่างต่ำนั้น ลำดับของเลขที่นำมาหารไม่สำคัญ เนื่องจากว่าในท้ายที่สุดแล้วผลลัพธ์ที่ได้ก็จะได้เศษส่วนอย่างต่ำค่าเดียวกันทั้งหมด มาลองดูในตัวอย่างต่อไปนี้โดยการแปลง 90/120 ให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำเช่นเดิมแต่เปลี่ยนลำดับของตัวเลขที่นำมาหารเป็นแบบต่างๆ

# ลำดับที่ 1
90    90/10     9    9/3    3    3/1   3
——— = ———    => —— = ——  => —— = —— => —— (เศษส่วนอย่างต่ำ)
120   120/10    12   12/3   4    4/1   4 


# ลำดับที่ 2
90    90/3     30   30/10    3    3/1   3
——— = ———   => —— = ————  => —— = ——  = —— (เศษส่วนอย่างต่ำ)
120   120/3    40   40/10    4    4/1   4 

# ลำดับที่ 3
90    90/5     18   18/6   3    3/1    3
——— = ———  => ——  = ——  => —— = ——  => —— (เศษส่วนอย่างต่ำ)
120   120/5    24   24/6   4    4/1    4 

จะในว่าลำดับของตัวเลขที่นำมาลดทอนนั้นไม่ได้มีผลในการแปลงให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ เนื่องจากผลลัพธ์สุดท้ายจะได้เศษส่วนที่เหมือนกันเสมอ แต่ถ้าหากเราสังเกตุตัวเลขที่นำมาหารในแต่ละลำดับ จะเห็นว่าผลคูณของมันจะเท่ากันเสมอนั่นคือ 30

• ลำดับที่ 1 มีตัวเลขที่นำมาหาร 10*3*1 = 30
• ลำดับที่ 2 มีตัวเลขที่นำมาหาร 3*10*1 = 30
• ลำดับที่ 3 มีตัวเลขที่นำมาหาร 5*6*1 = 30

และนั่นหมายความว่า 30 คือ ห.ร.ม. ของ 90 และ 120 และเราสามารถใช้ ห.ร.ม นำมาหารตัวเลขเพื่อให้ได้เศษส่วนอย่างต่ำได้ทันที และในกรณีที่เศษส่วนเป็นเศษส่วนอย่างต่ำอยู่แล้ว ห.ร.ม. ของมันจะมีค่าเท่ากับ 1 นั่นเอง

90    90/30     3   
——— = ———    => —— (เศษส่วนอย่างต่ำ)
120   120/30    4

สูตรการแปลงเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

นี่จึงเป็นสูตรสำหรับการหาเศษส่วนอย่างต่ำของ a/b โดยการหา ห.ร.ม. ของ a และ b และนำมาหารทั้งเศษและส่วนก็จะได้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำดังที่แสดงในสูตรต่อไปนี้

a    a/gcd(a,b)
— = —————————— = เศษส่วนอย่างต่ำ
b    b/gcd(a,b)

สำหรับวิธีการหา ห.ร.ม. ของตัวเลขคุณสามารถเรียนรู้ได้ที่ บทเรียนการหา ห.ร.ม. หรือคุณสามารถใช้ โปรแกรมคำนวณตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) เพื่อหา ห.ร.ม. ของตัวเลขที่ต้องการได้อย่างรวดเร็ว

ตัวอย่างการแปลงเป็นเศษส่วนอย่างต่ำด้วย ห.ร.ม

การใช้วิธีหารด้วย ห.ร.ม. เป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพและรวดเร็วในการแปลงเศษส่วนเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ เพื่อหาเศษส่วนอย่างต่ำของ a/b เราแค่หา ห.ร.ม. ของ a และ b ให้ได้ก็พอแล้ว ต่อไปมาอยู่อย่างการแปลงเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำโดยการใช้ ห.ร.ม.

1. แปลง 2/8 ให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

หา ห.ร.ม. ของเศษและส่วนหรือ 2 และ 8 จะได้เท่ากับ 2 เนื่องจากมันเป็นตัวเลขที่มากที่สุดที่หารตัวเลขทั้งสองได้ลงตัว ดังนั้นเราสามารถแปลง 2/8 ให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำได้เป็น

2   2/2   1
— = ——— = — (เศษส่วนอย่างต่ำ)
8   8/2   4

ดังนั้น 1/4 เป็นเศษส่วนอย่างต่ำของ 2/8

2. แปลง 18/30 ให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

หา ห.ร.ม. ของเศษและส่วนหรือ 18 และ 30 จะได้เท่ากับ 3 เนื่องจากมันเป็นตัวเลขที่มากที่สุดที่หารตัวเลขทั้งสองได้ลงตัว ดังนั้นเราสามารถแปลง 18/30 ให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำได้เป็น

18   18/3   6
—  = ———  = — (เศษส่วนอย่างต่ำ)
30   30/3   10

ดังนั้น 6/10 เป็นเศษส่วนอย่างต่ำของ 18/30

3. แปลง 80/100 ให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

หา ห.ร.ม. ของเศษและส่วนหรือ 80 และ 100 จะได้เท่ากับ 20 เนื่องจากมันเป็นตัวเลขที่มากที่สุดที่หารตัวเลขทั้งสองได้ลงตัว ดังนั้นเราสามารถแปลง 80/100 ให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำได้เป็น

80    80/20    4
——  = —————  = — (เศษส่วนอย่างต่ำ)
100   100/20   5

ดังนั้น 4/5 เป็นเศษส่วนอย่างต่ำของ 80/100

4. แปลง 5/8 ให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

หา ห.ร.ม. ของเศษและส่วนหรือ 5 และ 8 จะได้เท่ากับ 1 เนื่องจากมันเป็นตัวเลขที่มากที่สุดที่หารตัวเลขทั้งสองได้ลงตัว และเนื่องจาก ห.ร.ม. เท่ากับ 1 เศษส่วนนี้จึงเป็นเศษส่วนอย่างต่ำแล้วและไม่สามารถลดทอนได้อีก

5 
—— (เศษส่วนอย่างต่ำ)
8

5/8 เป็นเศษส่วนอย่างต่ำอยู่แล้ว

5. แปลง 1/3 ให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

หา ห.ร.ม. ของเศษและส่วนหรือ 1 และ 3 จะได้เท่ากับ 1 เนื่องจากมันเป็นตัวเลขที่มากที่สุดที่หารตัวเลขทั้งสองได้ลงตัว และเนื่องจาก ห.ร.ม. เท่ากับ 1 เศษส่วนนี้จึงเป็นเศษส่วนอย่างต่ำแล้วและไม่สามารถลดทอนได้อีก

1 
—— (เศษส่วนอย่างต่ำ)
3

1/3 เป็นเศษส่วนอย่างต่ำอยู่แล้ว

ในบทเรียนนี้ คุณได้เรียนรู้วิธีการแปลงเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ วิธีที่เรียบง่ายและตรงไปตรงมาในการแปลงก็คือหาตัวเลขมาหารทั้งเศษและส่วนจนกว่าจะไม่สามารถทำได้หรือเหลือเพียงแค่ 1 เราก็จะได้เศษส่วนอย่างต่ำ และอีกวิธีที่มีประสิทธิภาพและรวดเร็วคือหา ห.ร.ม. ของเศษและส่วนแล้วนำมาหารก็จะได้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ และในกรณีที่เศษส่วนเป็นเศษส่วนอย่างต่ำอยู่แล้ว ห.ร.ม. ที่หาได้ก็จะเท่ากับ 1 เสมอ